Gamma Solutions

En esta sección presentamos algunos juegos interactivos y simulaciones. En el Valuador de call de Amazon estudiamos el precio de una opción de compra (call) utilizando un modelo binomial con una cantidad finita de pasos temporales. Es interesante porque, al hacer tender la cantidad de pasos a infinito, el modelo satisface la ecuación de Black-Scholes. El Juego de la Soga es un juego de suma cero contra la computadora y sirve para ver las propiedades de la función armónica dado que el dominio es un cuadrado y la frontera está fija.

Valuador de call de Amazon

Utilizamos un modelo binomial para calcular el precio de un derivado financiero call de la acción AMZN (Amazon). Nos interesa trabajar con este activo financiero debido a que la política de la empresa es no pagar dividendos y esto simplifica el estudio.

Breve explicación del modelo: (clic para expandir)

Dada una fecha de vencimiento del derivado, sea $T$ el tiempo que resta desde hoy hasta esta fecha. Entonces dividimos a $T$ en pasos temporales más pequeños de longitud $\Delta t$ y, en cada uno, el valor de la acción puede multiplicarse por $u$ (aumentar) o por $d$ (disminuir). Por ejemplo, si la acción vale $S$, luego de un solo paso temporal tiene dos valores posibles:

$$ \begin{array}{ccc} & & uS \\ & \nearrow & \\ S & & \\ & \searrow & \\ & & dS. \end{array} $$

Para el cambio en cada paso usamos

$$ \begin{aligned} u &= \exp\left( \sigma \Delta t^\beta \alpha \right), \\ d &= \exp\left(- \sigma \Delta t^\beta / \alpha \right) \end{aligned} $$

donde $\sigma$ es la volatilidad anual de la acción y $\alpha$ y $\beta$ son parámetros a determinar. Para continuar, representemos con $r$ a la tasa de interés anual libre de riesgo del mercado y así definimos una probabilidad $p$ como

$$ p = \frac{\exp(r\Delta t) - d}{u - d} $$

siempre que

$$ d<\exp(r\Delta t) < u. $$

Finalmente, dado un precio de ejercicio Strike $K$, el modelo consiste en calcular el precio de derivado $C$ usando la fórmula:

$$ C = \exp(-rT) E[\max\{S(T) - K, 0\}]. $$

La importancia del modelo binomial radica en que basta asumir $\beta=1/2$ para que el límite de $C$ cuando $\Delta t$ tiende a cero verifique la fórmula del modelo de Black-Scholes.

Cómo jugar: (clic para expandir)

¿La aplicación no carga? Ábrela aquí.

Tug of War Game

Presentamos un juego de suma cero para competir contra la computadora: hay que tirar del punto verde oscuro hasta que llegue a algún cuadrado del borde y este será nuestro pago (o nuestra deuda). Recomendamos jugarlo en una computadora.

Cómo jugar: (clic para expandir)